Pertes de charge linéaires

Les pertes de charges linéaires sont principalement du à la viscosité du fluide qui aura tendance à « coller » aux parois des conduites et des tuyaux, le liquide, freiné lors de son déplacement s’écoule alors de manière turbulente.

Calcul rapide des pertes de charge linéaires

La calculatrice permet de calculer la perte de charge linéaire d’un tronçon donné (segment A par défaut).

  • ε indique le coefficient de rugosité employé  (polyéthylène).
  • µ indique la viscosité dynamique de l’eau à 15°C.
  • ρ représente la masse volumique de l’eau à 15°C.
  • ΔH est calculé avec l’équation de Darcy-Weisbach.
  • fD est calculé d’après la corrélation de Haaland.

Cas pratique

Je vous propose de calculer dans le détail les pertes de charge linéaires de la conduite qui alimente la turbine afin de voir si le résultat des calculs coïncident avec les valeurs mesurées (et je peux déjà vous le dire, cela fonctionne !).
Pour rappel, le manomètre en bas de colonne indique une perte de charge totale de 2 bars (~ 20 m CE) qui est la somme des pertes de charge singulières et linéaires.

Dans un premier temps, nous allons étudier la composition de la conduite : on constate que cette dernière est faite de plusieurs tronçons de différents diamètres et de différentes longueurs (schéma ci-dessous). Nous allons donc décomposer cette conduite en segment de même diamètre pour en calculer la perte de charge associée. L’opération sera répétée pour chaque segment et la somme des résultats sera égale à la perte de charge linéaire de l’ensemble de la conduite. La même opération sera effectuée pour les pertes de charge singulières.

Schéma

Schéma des pertes de charge linéaires

  • Le segment A représente la colonne d’eau principale. Elle part du réservoir et arrive devant le chalet.
  • Le segment B représente la ramification qui dessert le chalet à partir de la colonne principale. Elle prend son origine sur le segment A et se termine dans la cave du chalet.
  • Le segment C représente les deux derniers tuyaux qui alimentent la turbine à proprement parler.

Tableau récapitulatif

Récapitulatif des pertes de charge régulières
Symbole Unités Segment A Segment B Segment C
Débit volumique qv m³/s 0,001 0,001 0,0005
Ø intérieur D mm 31 24,8 19
Longueur L m 200 12 2,50
Nature de la conduite PEHD* PEHD* PEHD*
Rugosité de la conduite ε (epsilon) m 0,0015 0,0015 0,0015
Masse volumique de l’eau ρ (Rhô) kg/m³ 999,100 999,100 999,100
Viscosité dynamique de l’eau (15°C) µ (mu) Pa/s 0,001139 0,001139 0,001139
Accélération de la pesanteur g m/s² 9,807 9,807 9,807
Section S mm² 754,39 482,81 283,39
Vitesse de l’eau v m/s 1,32 2,071 1,764
Viscosité cinématique de l’eau (15°C) ν (nu) m²/s 1,1400-6 1,1400-6 1,1400-6
Reynolds Re 36046 45057 29399
Régime Turbulent Turbulent Turbulent
Coefficient de perte de charge (Haaland) fD 0,022392 0,021283 0,023584
Perte de charge linéaire par mètre de segment ΔH m CE / m 0,06 0,19 0,19
Perte de charge linéaire par segment ΔH m CE 12,94 2,25 0,49
Total des pertes de charge linéaires ΔH m CE 15,68

Au niveau du segment C, le débit  est divisé par deux (0,0005 l/s) car la turbine est équipée de deux injecteurs.

Démarche détaillée

Dans les calculs qui vont suivre, je prendrais pour exemple le segment A de la colonne. Les champs des calculatrices à venir seront donc pré-remplis avec les valeurs qui correspondent à ce tronçon, à savoir :

  • Diamètre de conduite = 0.031 m (31 mm)
  • Débit = 0.001 m³/s (1 l/sec)
  • Longueur de conduite = 200 m
  • Coefficient de rugosité = 0.0015 m
  • Masse volumique de l’eau = 999,100 kg/m³
  • Viscosité dynamique du l’eau = 0,001139 Pa/s
  • Accélération de la pesanteur = 9.807 m/s²

Vous pouvez bien sur remplacer ces valeurs par vos propres données afin de réaliser vos propres calculs.

Vitesse moyenne de l’eau

v=\frac{qv}{S}
v : vitesse moyenne de l’eau [m.s]
qv : Débit volumique [m3.s]
D : Diamètre [m]

On parle ici de la vitesse moyenne d’écoulement de l’eau dans une conduite circulaire.

Nombre de Reynolds

\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu}
Re : Reynolds [-]
ρ : masse volumique du fluide [kg⋅m-3]
V : vitesse moyenne de l’eau [m/s]
D : Diamètre de la conduite [m]
µ : Viscosité dynamique du fluide [Pa⋅s]

Au delà de 3000 Reynolds le régime est dit « turbulent ».

Coefficient de perte de charge

Plusieurs méthodes existent pour définir le coefficient de perte de charge. Une des plus connues est le diagramme de Moody qui est une abaque permettant de déterminer le coefficient de perte de charge à partir du nombre de Reynolds et de la rugosité de la conduite. Il est également possible de calculer directement ce paramètre à partir de corrélations qui sont à la base du diagramme du Moody.

Régime laminaire – Re < 2000

Loi de Hagen-Poiseuille
 f_D= \frac{64}{Re}
Re : Nombre de Reynolds [-]
fD : Coefficient de perte de charge [-]

Pour un écoulement laminaire dans un tube circulaire, Re < 2000, on obtient l’expression de fD par identification avec la loi de Hagen-Poiseuille

Régime turbulent – Re > 3000

Pour un écoulement turbulent dans un tube circulaire ou le nombre de Reynolds est supérieur à 3000 , on utilise le diagramme de Moody ainsi que différentes formules pour déterminer le coefficient de perte de charge (fD). J’exposerai ci-dessous différentes méthodes afin d’en comparer les résultats.

Diagramme de Moody

Diagramme de Moody - déterminer le coefficient des pertes de charge linéaires

Valeur

Corrélation de Haaland
 \frac{1}{\sqrt{f}}=-1.8\log_{10}\left[\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11}+\frac{6.9}{\mathrm{Re}}\right]
f : Coefficient de perte de charge [-]
ε : Coefficient de rugosité [m]
D : Diamètre de la conduite [m]
Re : Nombre de Reynolds [-]

Comparé au diagramme de Moddy, le coefficient de perte de charge calculé grâce à la corrélation de Haaland donne un très bon résultat.

  • fD = 0.0224 (Haaland)
  • fD = 0.0267 (Moody)

En appliquant ce coefficient à l’équation de Darcy-Weisbach on obtient un ΔH égal à 12.95 m CE, ce qui est parfaitement cohérent à première vue.

Corrélation de Swamee et Jain
fD=[-2\log(\frac{\varepsilon/D}{3.7}+ \frac{5.74}{Re^{0.9}})]^{-2}
fD : Coefficient de perte de charge [-]
ε : Coefficient de rugosité [m]
D : Diamètre de la conduite [m]
Re : Nombre de Reynolds [-]

Le résultat obtenu diffère trop de celui obtenu par le diagramme de Moddy ou la corrélation de Haaland :

  • fD = 0.0267 (Moody)
  • fD = 0.0224 (Haaland)
  • fD = 0.060112 (Swamee et Jain)

En appliquant ce coefficient à l’équation de Darcy-Weisbach on obtient un ΔH égal à 34 m CE, ce qui n’est pas vraiment cohérent.

Variante de Swamee et Jain
  fD=0.25\left[\log_{10}{(\frac{\varepsilon}{3.7D}+ \frac{5.74}{Re^{0.9}})}\right]^{-2}

fD : Coefficient de perte de charge [-]
ε : Coefficient de rugosité [m]
D : Diamètre de la conduite [m]
Re : Nombre de Reynolds [-]

Le résultat obtenu diffère trop de celui obtenu par le diagramme de Moddy ou la corrélation de Haaland :

  • fD = 0.0267 (Moody)
  • fD = 0.0224 (Haaland)
  • fD = 0.060112 (Swamee et Jain)
  • fD = 0.058937 (Variante de Swamee et Jain)

En appliquant ce coefficient à l’équation de Darcy-Weisbach on obtient un ΔH égal à 34 m CE, ce qui n’est pas vraiment cohérent.

Équation de Darcy-Weisbach

\triangle H=f_{D}\times \frac L {D_{h}}\times \frac {V^{2}}{2g}
ΔH : perte de charge [m]
fD : Coefficient de perte de charge de Darcy[-]
L : Longueur de la conduite [m]
V : Vitesse moyenne du fluide [m⋅s−1]
g : Accélération de la pesanteur [m⋅s−2]

On calcule ici la perte de charge à proprement parler grâce à l’équation de Darcy-Weisbachen, en fonction du coefficient de perte de charge calculé suivant les méthodes exposées ci-dessus. Le résultat est exprimé en mètre de colonne d’eau (m CE).

Dans l’exemple du tronçon A, nous obtenons une perte de charge linéaire égale à 12,95 m CE.

Cette opération est à répéter pour les segments B et C.

Bibliographie

  • Pertes de charge linéiques par Philippe Courtin version 1.02 Novembre 2012 sur IUTenligne, le campus numérique des IUT : http://iutenligne.net
  • Écoulements en charge Préparé par Pierre F. Lemieux, ing., Ph. D. Professeur titulaire Département de génie civil sur le site: http://www.daniel-huilier.fr
  • Perte de charges régulières (linéaires) dans les conduites, sur le site de Daniel Huilier, Equipe Instabilités, Turbulence, Diphasique Institut de Mécanique des Fluides et des Solides  – 3 novembre 2010 sur : http://www.daniel-huilier.fr
  • Calcul en ligne du coefficient de perte de charge répartie, par Alain Oster 2008, sur le site : http://www.numeriques.net
  • Colebrook Equation, Calculating friction loss coefficients in pipes, tubes or ducts sur le site : http://www.engineeringtoolbox.com
  • Formule de Swamee et Jain dans « Calcul des Conduites et Canaux par la MMR. Tome 1: Conduites et canaux en Charge » par Bachir ACHOUR, sur : https://books.google.com
  • Calcul du Coefficient de Frottement en Conduite Circulaire Sous Pression, par Bachir ACHOUR dans Larhyss Journal, ISSN 1112-3680, n° 05 Juin 2006 pp.197-200 – 2006 Laboratoire de Recherche en Hydraulique Souterraine et de Surface, sur le site : https://www.academia.edu
  • Calcul débit conduits dans un réseau aéraulique ou hydraulique par Mecaflux, sur le site : http://www.mecaflux.com
  • Le nombre de Reynolds, par David Louapre, sur le site « science étonnante » : https://sciencetonnante.wordpress.com
  • Les pertes de charges, J-M R. D-BTP 2006, sur le site : http://www.vft47.fr/medias/files/pertes-de-charge.pdf
  • Darcy friction factor formulae, sur le site : https://en.wikipedia.org/

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